第112章 欧拉遗产问题

7月10日，上午七点半，

智华楼一楼，数学院的学生志愿者们戴着红袖套，主持着秩序。

来自全国各个省份，还有隔壁大鹅国和星岛的代表队，一共699名参赛者排队陆续进入考场。

每个教室都有两名监考老师，教室前方摄像头来回转动，像是枪口一般威慑众人。

考生的位置前后左右间距都足有一米，考生只允许携带报到那天发的文具包，其余物品一律不允许带入考室，否则按违规处理。

“放轻松，不要有什么负担，相信自己的实力，正常发挥就行。”

考室外，安成章例行鼓励一番。

只是话说出口，他自己也感觉有些怪怪的，感觉好嚣张！

陈辉点头，转身向安检的地方走去。

一走进教室，肃穆的感觉便扑面而来。

饶是身经百战的陈辉，在这种氛围下，都有些微的紧张。

跟参加巴巴里阿数学竞赛是截然不同的两种感觉。

不过轻微的紧张反而能够激发潜力，让考生们有更好的发挥，这也是很多同学考试比平时分数更高的原因。

CMO考试分为两天，10号和11号，每天上午八点开始，持续四个半小时，下午和晚上是自由活动时间。

拿到试卷，只有三道题。

CMO的赛制跟IMO是一样的，都是一天三道题，每天四个半小时的答题时间，总共六道题，只是CMO每道题分数是21，IMO每道题分数是7分。

扫了一眼三道题目，确认没有什么问题后，陈辉才仔细审第一题。

【某次运动会相继开了n天（n＞1），共发出m枚奖牌，第一天发出奖牌1枚，和余下m-1枚的1/7，第二天发出两枚，和余下的1/7，依次类推，最后在第n天发出n枚奖牌，而没有剩下奖牌，问这次运动会开了几天？共发了几枚奖牌？】

“欧拉遗产问题？”

看到题目的瞬间，陈辉不仅得出了答案，还找到了这道题的祖宗。

欧拉遗产问题是说，有一位富豪，在他临终时，给自己儿子指定了特别的遗产分配方式，第一个儿子先取一百金币，然后取剩下金币的1/10，第二个儿子取200金币，然后取剩下的1/10，依次类推，最后每个儿子拿到的金币一样多，问，富豪总共有几个儿子，富豪的遗产有多少金币。

这个问题很有趣，是一道代数的经典问题，但通常适合小学高年级的朋友来练习。

这道题解法也很多，最简单的就是设富豪遗产金币为x，所以第一个

孩子得到的金币就是100+(x-100)*0.1=90+0.1x。

第二个孩子得到的金币是200+(x-(90+0.1x)-200)*0.1，而两个孩子获得的遗产相等，自然就能算出X为8100，也就能算出富豪有9个儿子。

当然，这道题还有很多有趣的解法，比如将未知变量设成富豪的儿子数，比如利用等差数列的兴致……

但这道题的难度绝对不会超过小学水平。

CMO上当然不会出现小学难度的题目，所以眼前这道题稍微做了点变形。

题目并没有说每天发出的奖牌数相等，但道理都是相通的，只要上过初中数学，解出这道题就不难。

先假设第K天剩余的奖牌数为rk，那么发出的奖牌mk=k+1/7(rk-k)，

那么第K+1天剩余的奖牌数r(k+1)=rk-mk=6/7（rk-k）。

即rk-7/6r(k+1)=k。

所以有r1=m，r1-7/6r2=1……r(n-1)-7/6rn=n-1，rn=n。

等式两边同时乘以(7/6)^(n-2)，然后等式两边相加之后就能逐项相消，最后得到m=1+2*6/7+……+n(7/6)^(n-1)。

再使用点小技巧，用m-7/6m就能得到-1/6m=(1+7/6+……+(7/6)^(n-1))-n(7/6)^n，右边式子的左半边部分明显是等比数列，利用公式求和，最后化简，就能得到m=36+(n-6)*(7^n)/6^(n-1)。

一个式子，两个未知数，显然无法求解出具体的值。

但题目说了，n>1，所以n-6必定小于6^(n-1)，而7^n和6^(n-1)互素，同时m、n为正整数，所以m不可能有分数部分，那么n就只能等于6，m也就只能是36。

写完答案，总用时不超过两分钟！

不止是陈辉，教室里不少同学都露出了开心的笑容，今年CMO看样子是准备给大家放水了。

陈辉没有笑，虽然那位江城大学的教授给了他许诺，但若是在CMO上发挥不好，他可不确定对方的许诺还算不算数。

从一开始他就知道，这个世界，归根结底还是由他的实力说了算。

看向第二题，

【设A是十进制数4444^4444的各位数字之和，B是A的各位数字之和，求B的各位数字之和】

有点意思的题目，陈辉看完题目，心中的紧张已然完全消失，彻底的

投入到了题目之中，他已经做过很多数学题，也参加了许多比赛，一开始他只是为了赚钱，为了改善自己的处境。

但渐渐的，看到有意思的题目，他有些忍不住见猎心喜。

别看他能在阿赛决赛拿到满分，但CMO与阿赛可以说是两个完全不同的赛道，阿赛像是F1方程式赛车，讲究的是用最好的车，以最精妙的技术来夺得冠军。

而CMO是让选手骑山地自行车玩山顶速降。

拿到F1方程式赛车冠军，对于自行车速降并不会有太大的帮助。

这间教室中，刚才还露出笑脸的其他考生们开始皱起眉头。

站在讲台和教室后方的两位监考老师见此，抬头对视一眼，露出了“健康”的笑容。

这次CMO由燕北大学数学院承办，考试规模不小，自然需要数学院的学生来协助，这两位监考老师也都是数学院的研究生。

他们在发卷时就注意到今天的题目了，当时他们就觉得这次的出题老师下手有些重，不过想到自己平时期末考试时欲仙欲死的场景，再看这些小家伙们眉头紧皱的样子，莫名就感觉很开心。

这还只是第二题呢，等到这些小家伙看到第三题，应该会感到更加“惊喜”吧。

他们两个研究生都暂时还没想到要怎么证明那道题呢。

一念及此，两人笑得更加开心起来。

陈辉眉头紧锁了一秒，随后已然舒展。

光看4444^4444自然是看不出什么东西来的，但只要稍微写一个稍大一些的数字，就很容易发现规律。

很显然，在十进制中，任何一个数字n与他的各位数字之和模9是同余的，例如2025%9=（2+0+2+5）%9=0，这很好证明。

只需要将由k位数字组成的n写成n=10^k·dk+……+10^1·d1+10^0·d0这种形式，学过一点二进制的同学很容易就能想到这种表达方式。

然后只需要稍微处理一下，将原式写成n=（10^k-1）dk+dk……+(10^1-1)d1+d1+d0，显然，10^k-1模9等于0，所以n模9，就等于dk+……+d1+d0，上面的结论得证。

有了上面的结论后，很容易就能得出，B的各位数字之和C与B模9同余，C又与4444^4444模9同余，4444^4444%9=(493*9+7)^4444%9=7^(3*1481+1)%9=(7^3)^1481*7%9=(9*38+1)^1481*7%9=7。

而4444^4444