第284章 数学，从来都只有一种数学

下午两点。

复大，光华楼东主楼，500人阶梯教室。

教室里头早已经坐满了人。

最前排是一排空着的座位，那是给数院、物院那几位老教授留的。

中间几排，坐着的是复大数院、物院的研究生、博士生。

後面那一大片乌泱泱的脑袋，就五花八门了。

复大本科生、交大数学的研究生、同济应数的、华东师范的博士生……

甚至连旁边复旦附中、上中那两所中学，都派了几个高中数学竞赛的尖子生过来听。

教室里面嗡嗡地议论着。

“东神今年才几岁来着？”

“我看简历，十九。”

“我操，真的好年轻啊。”

“正常嘛，你看一下数学史。”

“高斯证二次互反律，十八。”

“伽罗瓦写下置换群理论，十七。”

“阿贝尔搞那个一般五次方程的不可解，二十。”

“这些天才，就不应该看年纪。”

“对，就看东西。”

就在这一片议论声里头。

教室前门“哢嗒”一声打开了。

沈维院士先走了进来，身後跟着的就是李东。

五百多双眼睛，齐刷刷地往讲台那边看。

李东一身简简单单的深色卫衣加牛仔裤。

他朝沈院士点了点头，然後一个人走上了讲台。

他什麽东西也没带。

就这麽往讲桌前一站。

朝着下面的同学们看了一眼。

然後，他笑了一下。

“大家下午好。”

“我是李东。”

“今天来给大家上一节小课。”

他这一句话语气很平。

平得像是大学里某个普通老师在上一堂普通的专业课。

“你们以为我要讲朗兰兹纲领？”

他语气一拐。

“我偏不。”

教室里头一阵笑。

“其实我也不太想讲那一档的东西。”

“因为……以後各位的老师会给大家讲了，毕竟上了教材嘛。”

下面的学生又是一阵笑。

李东也没管他们继续说道

“今天我想和大家玩一个小游戏。”

“游戏？”

台下有人忍不住小声地嘀咕了一句。

李东转过身，在背後的黑板上一笔一划地写下了一行字。

【对每个正整数n，数一下：有多少对整数(a，b)，使得a?+b=n？】

他写完，转过身来。

“很简单一个问题啊？”

“小学生都会做。”

“那咱们就从小学生那一档做起。”

他在黑板上开始往下列。

“n=1。”

“a?+

b2=

1。”

“答案，(±1，0)和(0，±1)，四组。”

“n=2。”

“a?+

b2=

2。”

“(±1，±1)，四组。”

“n=3呢？”

台下一片低声嘀咕。

李东笑了一下。

“零组。”

“为什麽？平方数mod

4，只能是0或1，加起来只能是0、1、2。”

“所以3不行。”

“n=4，四组。n=5，八组。n=6，零组。n=7，零组。n=10，八组。”

他每报一个数，台下记笔记的速度就越来越快。

李东把这一串记完，他转过身。

“找规律。”

“哪一位起来给我说一说？”

台下一阵安静。

然後，後排坐着一个戴眼镜的男生举起了手。

李东一指。

“这位同学，起来。”

那个男生站起来。

後排坐着的几个复大数院的本科生，一下子就转过头来看他了。

“靠，章衡也来了？”

章衡。

复大数院在读博士，博三。

本科燕大，IMO

2018年银牌。

现在跟着复大的一位长江学者做解析数论方向。

他整个人在数院里头，是属於“导师下学期发论文挂二作”的那一档稳的研究生。

此时的章衡站起来，清了清嗓子。

“这一组数，我感觉……”

“应该是和n本身的素因子分解有关。”

“3

mod

4的素数，如果在n里头出现奇数次，那就没有解。”

“如果都是偶数次，就能写。”

“再具体的次数，我得算一下。”

他答得不算慢。

这是搞解析数论的教材标准答案。

李东笑了一下，也没说对不对。

“答得很标准。”

“再来一位。”

台下又有一只手举了起来。

这一回是更後面靠门口的那一片。

一个大概二十一、二岁，圆脸，看着很活泼的男生。

“邱嘉源。”

旁边人立马就有人嘀咕。

“水木的那一位？”

“对，IM0

22年金牌，大三。”

“陶哲轩前几个月还转发过他一篇随手写的小笔记呢。”

邱嘉源站起来。

“我不从素因子分解走。”

“我从几何走。”

“你这个问题，本质是问平面上以原点为中心、半径为√n的那一圈圆周上，落了多少个整点。”“如果把所有n的解加起来，那就是平面上到原点距离不超过√N的整点总数。”

“按面积估算，是nN左右。”

“高斯做圆内整点的时候，给出过这个估计。”

李东点了点头。

“嗯，几何视角，正确。”

“还有麽？”

台下又有一只手慢吞吞地举了起来。

这一回是靠墙最边上一个戴着鸭舌帽的女生。

李东朝她示意。

“这位同学。”

她站起来

，声音不大。

“我从生成函数走。”

“考虑日函数0(q)=

q^(n?)。”

“rz(n)，就是日(q)在q"n这一项上的系数。”

“所以这个问题，本质上是研究*这一个对象。”

“……我只能走到这一步。”

她坐了下去。

李东在台上“哎”了一声。

“这一位同学，已经站在下一站的门口了。”

他冲她点了点头。

“你这个方向，是对的。”

“只不过它通向的，不是这一道题的答案。”

“它通向的，是雅可比、克莱因、希尔伯特那一些人想了一辈子的另一座山。”

“咱们今天先把这一座山过了，再谈下一座。”

这句一出来。

台下那一群研究生。

有几个突然就坐直了。

他们听出来了。

李东说的“下一座山“。

就是模形式。

三位答完。

教室里头反而更安静了。

按理说，这三个答案已经把这道题“三个最常用的方向“都答全了。

解析数论一个，几何一个，模形式一个。

还能怎麽答？

李东在台上看了看下面。

他嘴角微微地翘了一下。

“三个答案，都对。”

“但是都不彻底。”

“第一位学长的答案告诉你哪些n有解、哪些n没解。”

“第二位同学的答案告诉你解的总数大概是nN。”

“最後这一位同学的答案告诉你，这东西最後能落到一个生成函数上头去。”

“可是有一件事，他们三个人都没答。”

他停顿了一下。

“对一个具体的n，它到底有几组解？”

“精确的几组。”

“解数到底是怎麽决定的？”

“既不是素因子分解的'有/无'。”

“也不是面积估算的'大概'。”

“当然更不是02这一个对象的笼统描述。”

“是一个精确到每一个n的闭形式的公式。”

台下所有人此时都安静的听着。

他们这才意识到。

他们刚才答的三条路，都没碰到这个核心。

有一种“我刚才答得很对，但是好像和你问的不是一回事“的尴尬感。

李东转过身，在黑板上写了一行字。

[r=(n)=4

·

(d1(n)-ds(n))]

然後他在下面一行接着写。

[d:(n)=#{

d

|

n,

d=

1

(mod

4)}】

【ds(n)=#{d|n,d=3(mod4)}】

他放下粉笔，转过身。

“这是雅可比1828年给出的一个精确公式。”

“对每一个n，它有几组解，看它的因子里头模4余1的有几个、模4余3的有几个，做一个差，再乘以4。“完事。”

台下“嘶”地一声。

有几个研究生忍不住低声嘀咕了。

“这……这是怎麽写出来的？”

“这两件事怎麽扯上的？”

李东笑了一下。

他抬起手，在黑板上写了一组新的符号。

【Z[={

a

+

bi

:

a,

bEZ}]

“高斯整数。”

“a加b乘i。”

“a和b都是整数。”

“在这一个新的数系里头，你做一件事。”

“你把一个整数n，展开成它在Z[里的素因子分解。”

他在黑板上画了一个分支。

“在普通的整数里，5是素数。”

“可是在Z[里，5

=(2

+

i)(2-

i）。”

“它分裂了。”

“3呢？在Z[里，它还是素数，它不分裂。”

“7呢？也不分裂。”

“为什麽有的素数分裂，有的不分裂？”

他看了一眼章衡。

章衡的眼睛已经发亮了，然後大声说道。

“模4余1的分裂。”

“模4余3的不分裂。”

李东点了点头。

“所以rz(n）其实问的是什麽？”

“问的是把n在Z[里头分解成两个高斯整数的乘积，有多少种分法。”

“这是高斯整数里头的'除数函数'。”

“换一个数系，这个问题从"数解'变成了'数除数'。”

“换一个视角，这个问题就从"代数变换的组合问题'，变成了'数论里头熟悉的因子计数问题'。”他停顿了一下，指了指邱嘉源

“这位同学，你刚才那一个面积估算说rs(n)的平均阶是r。”

“你知道为什麽是n吗？”

邱嘉源有些犹豫的说道。

“圆的面积公式。”

李东摇了摇头。

“也不是。”

“圆的面积公式，是一个表象。”

“你把这个解数函数rz(n)做一个

Dirichlet级数。”

李东在黑板上又写了一行。

[Zrz(n)/n^s=4·

&(s)

·L(s,

x)】

“它在解析上分裂成两个东西的乘积。”

“一个，是黎曼（函数。”

“另一个，是模4那一个非平凡特征的DirichletL函数。”

“乘积的第一项，在s=1处有极点，留数等於1。”

“乘积的第二项，在s=1处的值，是r/4。”

“两个一乘，就出了那一个n。”

“这才是为什麽平均阶是m的原因。”

“那一个n，不是从圆里头掉出来的。”

“是从一个L函数里头掉出来的。”

台下的人现在已经懵了。

邱嘉源那一口气没缓上来。

他刚才答的“圆的面积”。

是这个L函数在s=1那一头留下来的一个偶然

事件。

李东转过身。

“我们再退一步。”

“刚才那一个L(s，x）是什麽？”

“它是把模4那个简简单单的奇偶性，翻译成了一个解析对象。”

“这一档东西，有一个名字。”

“它叫……自守L函数最初的、最最最低维的一个例子。”

“GL(1)上的自守L函数。”

他到此刻，一句“朗兰兹”都没提。

但是在场的研究生们，听到这儿，脸色都已经变了。

他们意识到了。

这个看起来像是“小学生数题数解”的小游戏。

是一个19世纪的数学家用最朴素的方式，触碰到了20世纪最庞大的那一座山的山脚。

而这一座山，刚刚由这一位面前的少年，被命名了一块新的山头。

李东在黑板上，把那两个公式之间画了一根简单的箭头。

然後他看着台下。

“我说这一节课不讲朗兰兹。”

“我没骗你们。”

“我没讲。”

他笑了一下。

“但你们刚才听见的每一个字，其实都在讲。”

“问题没变。”

“a2+

b=

n，解多少组。”

“答案在变。”

“代数视角告诉你，要换数系。”

“几何视角告诉你，平均阶是Ⅱ。”

“分析视角告诉你，m来自於一个L函数。”

“它们其实是同一件事。”

“同一件事，只是被不同的人，用不同的语言，说了三遍。”

台下安静极了。

李东这个时候，语气慢了下来。

“我以前有一位高中老师。”

“教我数学的。”

“他和我说过一句话。”

“原话当然我记不太清了，我就大概说说意思。”

“几何也好，代数也好，分析也好，数论也好，组合也好。”

“它们看起来在不同的房间里。”

“那只是因为给它们盖房子的人，把墙砌起来了。”

“墙不是知识。”

“墙是为了教学方便。”

“你需要哪一个房间里的知识的时候，顺手把这面墙拆了就是了。”

“拆完了，房子就连成了一片。”

“今天这一节课，讲的就是怎麽拆这些墙。”

教室里安静得能听见後排的人咽口水的声音。

李东抬起头。

他的目光从台下扫过。

“再过五十年，等你们当中有人坐到我现在这一个位置上，跟下一代讲这一道题的时候。”“我希望你们告诉他们的，不是雅可比怎麽写出那一个公式。”

“也不是高斯怎麽数那一片整点。”

“是一句话。”

他停了一下。

“数学，从来都只有一种数学。”

“它穿过不同的窗户，洒下了不同的影子。”

“我们做数学的人，一辈子要做的就只有一件事一”

他抬起头。

“穿过那些影子，去找那一束光。”

教室里头，先是有那麽半秒的鸦雀无声。

然後，有人先鼓起了掌。

紧接着，所有的人都跟着站起来鼓掌了。

五百多双手。

拍出来的那一阵掌声，像是要把光华楼的天花板掀起来一样。

经久不息。

李东就站在讲台上。

他没动。

台下的人，眼睛都直了。

他们说不清这一种感觉是什麽。

他们只是觉得这一个站在台前的少年。

他後头，好像还有很多很多东西。

他要带着大家去的那一个地方，他们看不见。

他们也不知道是哪儿。

也许是数学的尽头。

也许是再过一百年才能看到的那一颗星辰。

但是他们就是觉得。

他们想跟着他

散场以後。

光华楼东主楼的小会客室。

李东刚一进门，沈维就站起来了。

他没说话。

他直接朝李东伸出了一只手。

李东愣了一下，赶紧握上去。

“沈院士。”

“今天讲得有点不好，您见笑了。”

沈维摇了摇头。

“我刚才坐在第一排。”

“听到一半，我自己都忍不住在草稿纸上往下推。”

他笑了一下。

“你这要是算讲的不好的话，那就没人讲的好了。”

旁边的吴建国也接了一句。

“李东啊。”

“我今天来听这一节课，本来是来捧场的。”

“我一个搞表面物理的，听数学的小课，能听懂的不多。”

他顿了一下。

“但是你今天讲完，我突然就想起一件事。”

“我那表面物理里头，有一个长期对不上号的能级劈裂。”

“我以前一直是从晶体对称那一头去解的。”

“我刚才坐在底下听你那一句'换数系"，我突然想到。”

“那东西，可能根本就不是从对称那一头去解的。”

“是从一个我没用过的"数系"里头去看的。”

他抬起头看着李东。

“所以我要谢谢你，是你这一节课点醒了我。”

李东赶紧摆手。

“吴老师您过奖了。”

“我也就是讲一节小课。”

吴建国笑了一下。

“你这一节课，对你来说，是小课。”

“对我们坐在底下听的，可能就不是了。”

沈维点了点头。

“今天这事，我估计过几天就要传到水木那一头去了。”

他有些古怪的看着李东。

“那边的丘先生，怕是又要给你打电话了。”

“我可是听说了，他好像让你去水木讲课，你还没去，现在先跑我们复大来了。”

李东：……