第五十九章 让人满意的学生

达内尔的自行车拐进108街的时候，路灯已经亮了。

橘黄色的光从头顶照下来，把柏油路面上的坑洼和裂缝照得一清二楚。

远处传来J线地铁在高架轨道上刹车的尖锐声，和某栋楼里正在播放的说唱音乐混在一起，低音鼓点震得临街的玻璃窗微微发颤。

达内尔在公寓楼门口停下来，单脚撑地，林安从后座上跳下来，活动了一下被颠得发麻的腿。

达内尔把自行车锁在门口的消防栓上，链条锁穿过前轮、车架和消防栓，啪嗒一声扣上。

一般人的自行车在牙买加社区这样锁，第二天铁定会消失，但是达内尔似乎并不担心这个问题。

两人走上台阶，上到二楼。

达内尔掏出钥匙开了门，屋里的暖气片还是凉的，三月的夜风从窗户的缝隙里钻进来，带着冰冷的气味。

达内尔把自己扔进沙发里，沙发弹簧发出一声不堪重负的呻吟，林安在窗边的折叠椅上坐下，欣赏着窗下的西洋景……不知道什么原因，两个倪哥正在下面大打出手，打得不亦乐乎呢。

“Bro。”

达内尔开口了。

“嗯？”

“你说那个清洁公司的事，我能不能带几个朋友来上班？”

林安看了他一眼。

“什么样的朋友？”

“就是……”

达内尔抓了抓后脑勺。

“社区里的，住在这附近的，有几个跟我从小一起长大的，现在都在打零工，有一顿没一顿的。

还有个是我表弟，刚满十八，他妈天天念叨让他找个正经活。”

他顿了顿。

“他们干活肯定比那些流浪汉靠谱，至少不会半夜偷东西吃。”

林安乐呵呵地笑了一下。

“没问题。”

达内尔的眼睛亮了一下。

“真的？”

“真的，你想带几个就带几个。”

林安靠在折叠椅的椅背上，继续看窗下的斗殴，然后看着看着，他猛然愣住了。

【主播怎么了】

【在想什么】

【达内尔说带朋友来上班，主播说没问题，然后主播就这样了，达内尔的事情有什么不妥吗？】

【这不是挺好的吗，有什么问题】

林安慢慢把窗户关上。

事情确实有点不妥，但是不是达内尔的，而是自己的事情。

林安突然间发现自己有所疏忽。

开清洁公司这件事，他一直在想的是怎么用最便宜的人工……流浪汉，不仅能节约工资，还能起到慈善作用。

但达内尔说了一句话，像是一根针让林安意识到自己的想法有问题。

“我能不能带几个朋友来上班？”

这不是一个员工招聘问题。

这是一个人情世故问题。

林安靠在椅背上，眼睛盯着天花板上那盏没开的吊灯，吊灯的灯罩上积了一层灰，边缘挂着一缕蛛网，在窗口灌进来的风里轻轻晃动。

他忽略了牙买加社区，清洁公司要在这里接活的话，就不能，也不应该忽略本地人的意见。

老乔勉强算是本地人，但是流浪汉在美国这边算不上人的，在他重新站起来之前，老乔只能算是半个人。

如果在一个治安不理想的社区内开公司，只招募流浪汉，却一点福利都没给本地人留的话，肯定会有麻烦，有103分局照顾都不行。

除了本地人之外，103分局也要考虑一下。

如果103分局的某个警察，在靶场里一边换弹匣一边随口说“林博士，我老婆的妹妹最近在找工作，你们那个清洁公司还要人吗”？

他能说不要吗？

他不能。

林安的手指在膝盖上轻轻敲了一下，他开始重新算账。

他之前算的账太窄了，他只算了人工成本，却没有考虑到人情世故。

员工名单必须要改一下，

103分局警察的家属，社区里有头有脸的人介绍来的，达内尔这种——土生土长的牙买加人，无法忽略，他们进公司才是正式工。

至于流浪汉？

流浪汉当然也要用，他们便宜，只要包吃包住，待遇到位，他们什么都愿意干。

但他们不应该是正式员工。

他们是临时工。

日结工资，不给合同，不报税，不交社保，需要的时候就叫来，不需要的时候就让他们在厂房里待着，管吃管住。

至于这些流浪汉是否愿意？

不愿意干就滚蛋呗。

中国一句老话，你不干，有得是人干，大街上一大堆流浪汉，你不勤快，不洁身自爱，一点剥削价值都没有，林安要你做甚？

要是在中国，林安这样干肯定是不行的，不仅道德上不允许，法律也有问题，可是在美利坚这个资本主义国家，林安的行为反而算得上善良。

林安站了起来，从打赏列表中拿出笔和纸，开始写写画画起来，为还没有开始的清洁公司规划起内部员工类型和等级。

清洁队的名额，要分成三类。

第一类：正式工，留给103分局的关系、社区的关系、达内尔推荐的人，要签合同，该买的保险全部买齐，名额有限，宁缺毋滥。

第二类：临时工，从老乔找到的流浪汉里挑，干活卖力的、不偷懒的、不吸毒的，日结，包吃包住包衣服和日常用品，随叫随到。

第三类：杂活队，从社区内的流浪汉找人，干厂区里的杂活，不参与重要工作，打扫、搬运、修缮……管吃管住，日结工钱，包吃，但是不包吃好，住宿有，却是睡大通铺，表现好的杂工，可以升到临时工。

三道台阶。

每上一级，待遇就好一级。

写好东西后，林安闭上眼睛开始养神。

清洁公司的框架，在他脑子里越来越清晰了。

……

有了计划，但是林安并没有急着去实行。

有些事情可以急着来，比如说复仇，但是有些事情却不能急，越急越容易出错。

有些时候，急不是快，稳才是。

所以，林安并没有急着对外公开自己的计划。

在隔天拿到了学生证之后，林安第一时间就是在达内尔所在的公寓租房子，花了一千二百美刀一个月将其三楼给租了下来。

以林安目前手里的现金，他可以前往更好的社区，租一套更好的房屋，但是他不乐意。

在黑人社区，一个黄种人住下来确实有些扎眼，但是有达内尔的帮助，这样的扎眼又算不上什么。

很多事情就是那样，同样的环境，有人带着，你便是如鱼得水，没人管你，那这就是地狱。

林安也是如此，有着达内尔跟着他，一些即便是喜欢玩歧视的倪哥，也不敢在林安面前表现出来……至于，他们背后蛐蛐自己的可能性，那林安也没辙，也懒得和这帮子没有未来的二傻子计较。

只要他们不敢在林安面前当面发疯就行，其他的，你又不是美刀，凭啥让所有人都喜欢你。

林安在牙买加定居的第一个原因，便是达内尔和其家人。

至于牙买加社区的恶劣环境，这对于林安来说，这是坏事吗？

租房子是最重要的第一件事情，而第二件事情，便是教授的事情了。

既然林安成为了教授的学生，那么一些学生该做的事情，他也应该稍微意思一下。

……

四月一日，愚人节，下午两点，哥伦比亚大学数学办公楼。

四月的阳光从拱形窗户斜照进来，在暗红色的橡木地板上投下一块块明亮的光斑，窗台上那盆半死不活的绿萝还在。

罗伯特·杰罗教授坐在他那张老旧的皮面办公椅里，面前摊着一本最新一期的《数学金融期刊》。

“咚咚咚……”

门被敲响了。

“进来。”

林安推门而入，手里拎着一个牛皮纸袋。

他今天穿得比之前正式了一些，一件浅蓝色的牛津纺衬衫，外面套着一件深灰色的V领毛衣，下身是一条熨烫过的卡其色长裤，脚上是一双擦过的棕色乐福鞋。

杰罗教授的目光在他身上停了一下，嘴角微微动了动，没说话。

林安在办公桌对面的木椅上坐下，把牛皮纸袋放在桌上。

“给你带了点东西。”

他说。

杰罗教授打开纸袋，往里看了一眼。一盒蓝莓，两袋混合坚果，三包全麦饼干，还有一瓶维生素D补充剂。

“这是什么？”

“慰问品，你办公室里那盆绿萝都快死了，我估计你也不怎么出门晒太阳。”

林安说话有些随意，杰罗教授乐呵呵的把纸袋放到一边，没有说谢谢，但也没有拒绝。

他摘下老花镜，用两根手指揉了揉鼻梁，然后重新戴上，看着林安。

“前段时间我让你看十七本书，今天刚好我有时间，你又有空，那我就需要知道，你到底会什么。”

林安的表情没有变化，他甚至笑了笑。

“当然，教授。”

杰罗教授转身拉开抽屉，从里面拿出一叠装订好的打印纸，放在桌上，纸张的边缘整齐，封面是空白的，没有任何标题。

“这是一道题。”

他说。

“准确地说，是一道我用来筛选博士生的题目，每年我都会给新来的博士生做这道题，题目涉及随机微积分、偏微分方程、数值方法和金融建模四个方向，每个方向一道子题，一共四道。”

他的手指在打印纸上轻轻敲了敲。

“我给你的时间限制是四个小时，通常情况下，能在一个下午做完四道题的学生，已经具备了独立研究的基础，能做对三道题的，需要补一些课……

只能做对两道题的，我会建议他考虑换一个方向。”

林安看着那叠打印纸，没有伸手去拿。

“如果有人全做对了呢？”

杰罗教授沉默了一秒。

“从来没有过。”

他看着林安。

“不是没有人全做对，是从来没有人能在四个小时内全做对。我的题目设计，第四道题的难度是故意超纲的……

它需要用到至少两篇近三年顶刊论文里的方法，一个刚入学的博士生，不可能在四个小时内读完两篇论文、理解方法、然后应用到题目里。”

他的嘴角微微弯了一下。

“如果你能做到，我就承认我招了一个天才。”

林安伸出手，把打印纸拿过来。

封面翻开，第一页是手写的题目，是关于随机微积分的，涉及伊藤引理和测度变换。

第二道题是关于偏微分方程的，自由边界问题。

第三道题是关于数值方法的，蒙特卡洛模拟的方差缩减技术。

第四道题……

林安的目光在第四道题上停了一下。

题目只有三行字，但每一个词他都认识，组合在一起却像是某种暗号，对于这道题，他还真没学过。

【操，第四道题我看都看不懂】

【第一道我大概明白，伊藤引理，这个我学过】

【第二道自由边界问题，美式期权定价的经典框架，但是他的边界条件设置得很刁】

【第三道方差缩减，控制变量法和对偶变量法，这个不难，但计算量大】

【第四道是什么东西？】

【让我看看……等一下，这好像是Longstaff和Schwartz在2001年那篇论文里的方法？不对，他做了变形】

【不是Longstaff-Schwartz，更像是2005年那篇关于提前执行特征的论文，但题目里加了一个跳跃项】

【跳跃项？那就不是标准的美式期权了，是带跳的美式期权定价，这个在2009年还没有解析解】

【所以这道题不是让学生解的，是让学生证明自己读了多少论文】

【教授刚才说了，这道题是故意超纲的，就是看学生能不能在四个小时内找到正确的方法】

【换句话说，这不是考知识，是考学习能力】

【操，这不就是开卷考试吗】

【开卷考试最难了】

【会难倒我们吗？】

【等着，我这边有一台服务器，我开AI帮主播算一下第四道题】

林安把打印纸合上，放回桌上。

“有纸和笔吗？”

杰罗教授从抽屉里拿出一叠空白打印纸和一支钢笔，推过来，然后他看了一眼手表。

“现在是下午两点零七分，六点零七分，我来收卷。”

他站起来，从椅背上拿起一件深棕色的旧西装外套，穿在身上。

“我去系里开个会，四个小时后回来。”

他走到门口，转过身。

“你可以用我的书柜，任何一本书，也可以用电脑查资料，这是开卷考试。”

杰罗教授顿了顿，他刚想说……但你不能问任何人。包括手机里的任何人。

但是他看着林安一眼，想了想，如果后者打电话找人询问就能解开第四道题，那就有点太小瞧自己了。

算了，这事情没必要提。

林安点了一下头，杰罗教授便推门出去了。

办公室里安静下来。

林安把打印纸重新翻开，四道题摊在桌面上，既是方便自己读一遍，也是方便弹幕老爷来看。

读完之后，林安心里有数了，第一道和第二道题，他能做，而第三道以后，就摸不着头脑了。

理清楚思路后，他没有开始做题，而是走到书柜前。

杰罗教授的书柜占据了整整一面墙，从地板到天花板，一共八层。

书籍按照主题分类，包括随机分析、偏微分方程、数值方法、金融建模、风险管理、时间序列、优化理论等，每一层架子的书脊下方都贴着手写标签。

林安的目光从书脊上扫过去，在某些书名上停一下，然后移开，让弹幕老爷们确认杰罗教授的知识体系是怎么搭建的。

确认完之后，他回到桌前，拿起笔。

第一道题，随机微积分，伊藤引理，测度变换，吉尔萨诺夫定理。

他的笔尖落在纸上，开始写。

四十分钟后，第一道题写完了，林安活动了一下手腕，开始做第二道题。

自由边界问题，美式期权定价的偏微分方程框架。

林安的笔速比第一道题快了一些。

第二道题做完的时候，时间过去了两个小时。

窗外的阳光从白色变成了淡金色，从窗户的另外一侧照进来，在地板上投下了新的光斑。

林安没有急着做第三道题，而是让弹幕老爷们先看一下，确定这两道题自己答得没有大毛病，只有一些小问题需要修改一下后，林安就淡定下来了。

而第三道以后，林安就得靠弹幕老爷指点了。

弹幕开始热闹起来。

【第三道题我来，蒙特卡洛方差缩减，控制变量法和对偶变量法，这玩意儿我博士论文就做的这个】

【控制变量那部分的希腊字母选择要注意……】

【对偶变量法简单，直接取反路径就行，但是题目里有个陷阱，他给的随机数生成器是Sobol序列，低差异序列的对偶变量需要重新构造】

【操，Sobol序列的对偶？这个我没做过】

【用1减去每个维度的值就行，Sobol序列是[0，1]区间均匀分布，对偶就是1-x】

【但是高维Sobol序列的对偶会破坏低差异性质，方差缩减效果会打折扣】

【题目问的就是这个，为什么打折扣？怎么修正？】

【修正方法是用Brownian桥重新构造路径顺序，把最重要的维度放在前面，对偶只对前几个维度做】

【对，这个在2005年Glasserman那本书里有讲……】

【书架上有没有这本书？】

林安站起来，走到书柜前，他的目光从那些书脊上扫过，弹幕老爷们也在帮他一起找。

【第三层，左边，深蓝色封皮那本】

【对，就是那本，Glasserman】

林安抽出那本书，翻开目录，找到第五章，回到桌前，他把书摊开放在一边，开始写第三道题。

第三道题的计算量很大，蒙特卡洛模拟的方差缩减，涉及到控制变量和对偶变量两种方法的对比，还需要分析为什么在高维Sobol序列中对偶变量法的效果会打折扣。

林安的笔速不快，但很稳，每一个步骤都写得清楚。

弹幕在帮他校核。

【控制变量的系数算错了，应该……】

【路径数

你设的是N=10000？题目要求的是95%置信区间宽度不超过0.01，你算一下需要多少路径】

【我来算……大概需要四万条路径，10000不够】

【对，而且Sobol序列要求路径数是2的幂次，所以应该是65536条】

【65536条路径，用对偶变量法等效成131072条，方差减半，置信区间宽度除以根号2，刚好够】

林安停了一下，把之前写的数字划掉，重新计算。

第三道题做完的时候，时间过去了三个小时。

窗外的阳光从淡金色变成了更深的琥珀色，在地板上投下了长长的光影。

林安活动了一下有些发酸的手腕，把第三道题的答案整理好，放在一边。

三道题的答案加起来已经写了密密麻麻的六页纸。

然后他看向第四道题。

题目只有三行字。

+考虑一个带跳跃过程的美式期权定价问题。

标的资产服从Merton跳跃扩散模型，跳跃幅度服从对数正态分布。

请提出一个可行的数值定价框架，并讨论提前执行边界的性质。+

三行字。

没有参数，没有边界条件，没有具体的期权条款，就是这三行字。

这下子，林安是真没招了，只能完全靠弹幕老爷了。

【操，这题也太开放了】

【Merton跳跃扩散模型加美式期权，2009年确实没有解析解】

【不仅没有解析解，连成熟的数值方法都没有，LSM算法是2001年提出的，但那是针对纯扩散模型的，带跳的LSM要到2010年以后才有系统研究】

【所以教授说这道题是超纲的，他不是要学生做出来，是要看学生能不能找到正确的研究方向】

【方向是什么？】

【等着，我这就去找老登，让他帮忙】

【什么老登能帮忙？】

【就是我这边世界的罗伯特·杰罗】

【这好吗？】

【有什么不好，我这边的老登先是因为山火，把在洛杉矶的老家给烧了，接着是金毛股神乱来，把他的养老金给干没了，然后是……】

【总之，他破产了，被美国斩杀了，我拉他一把，现在老登在国内当教授，我是他的助教，让他帮个忙怎么了】

看到这里，林安把题目摊在桌面上，没有急着动手。

【我去问老登了，他正在上课，得等下课】

【行，那我们先帮主播把前三道题的细节再过一遍】

【第一道题伊藤引理的应用，有个地方需要注意，测度变换的时候，漂移项的符号……】

【第三道题路径数……】

弹幕老爷们把前三道题从头到尾又过了一遍，找出三个小问题：一个积分符号的上下限写反了，一个希腊字母的下标漏了，还有一个地方的假设条件没有明确写出来。

林安一一改过来。

改完之后，他靠在椅背上，活动了一下脖子。

第四道题还摊在桌面上，三行字，像三堵墙。

【老登下课了，我把题给他看了】

弹幕突然炸了一下。

【他怎么说？】

【他没直接说答案，他说这个题他出过很多年，每年都换一个变体】

【那这个变体怎么做？】

【他说，这道题的关键不在于“解”，在于“框架”，Merton跳跃扩散模型加美式期权，2009年确实没有成熟的数值方法，但如果能把问题拆成三部分，就能给出一套可行的框架】

【哪三部分？】

【第一，用傅里叶变换处理跳跃部分，……】

【第二，美式期权的提前执行特征，用最小二乘蒙特卡洛……】

【第三，提前执行边界的性质……】

【老登说，他出这道题的目的，就是看学生能不能意识到这三部分之间的关系】

【能写出这个框架的学生，说明他已经具备了独立做研究的能力，不是只会套公式】

【操，这也太难了】

【老登还说了什么？】

【他还说，这道题他每年都出，每年都没有人能在四个小时内做出来，做得最好的一个学生，用了三天，写了一个大概的框架，后来那个学生去了高盛，现在是MD了】

【老登问，是谁在做这道题？】

【你怎么说的？】

【我说是一个朋友，他在做你09年的题，然后他说了一句话】

【什么话？】

【他说，“第四道题不用写完整的答案，写出框架和思路就可以，因为做题者到这一步，已经证明了自己。”】

【什么意思？】

【字面意思】

林安看着弹幕，嘴角微微翘了一下。

他没有说话，拿起笔，开始抄第四道题的答案。

他抄了大概四页纸，不多，但每一个段落都踩在最关键的点上。

写完最后一个字的时候，门外响起了脚步声。

林安看了一眼时间……五点五十三分。

他还有七分钟。

他把四道题的答案按照顺序整理好，第一道题三页，第二道题两页，第三道题四页，第四道题四页，加起来十三页纸，整齐地叠放在桌面上。

钢笔的墨水还剩小半管。

他把笔帽拧上，放在答案旁边。

门被推开了。

杰罗教授走进来，走到办公桌前，把保温杯放下，看了一眼桌上那叠整整齐齐的答案，又看了一眼林安。

“做完了？”

“做完了。”

杰罗教授坐下来，摘下老花镜，用袖口擦了擦镜片，重新戴上，他拿起那叠答案，从第一页开始看。

办公室里安静极了。

杰罗教授看得很慢。

他看第一道题的时候，嘴角微微动了一下。

第二道题，他的眉毛抬了一下。

翻到第三道题的时候，他停了下来。

他看着林安写在答案后面的Sobol序列伪代码，看了大概两分钟，然后他把这一页抽出来，单独放在一边。

林安没有说话。

杰罗教授继续翻到第四道题。

他看到第一页的时候，身体微微前倾了一点。

看到第二页的框架描述时，他的手指在桌面上轻轻敲了一下。

看到第三页那个锯齿状提前执行边界的草图时，他的手指停住了。

罗杰把第四道题的四页纸从头到尾看了两遍，然后他把整份答案合上，放在桌面上，摘下老花镜，用两根手指揉了揉鼻梁。

“四个小时，你把前三道题做完了，第四道题居然还写出了这个框架。”

教授的声音有点惊讶，他把老花镜重新戴上，看着林安，眼睛里无比的欣赏。

“你是怎么想到用傅里叶变换处理跳跃项的？”

“Merton模型的特点是对数价格的特征函数有封闭形式。”

林安说。

“跳跃扩散过程的特征函数是纯扩散部分和跳跃部分的乘积。既然特征函数是封闭的，傅里叶变换就是最自然的工具。”

杰罗教授点了一下头，没有说对，也没有说错。

“那最小二乘蒙特卡洛的扩展呢？Longstaff-Schwartz的原始论文只处理了纯扩散模型，你怎么知道可以把跳跃项作为控制变量加进去？”

林安沉默了一秒。

“因为跳跃项是一个低方差的增量。”

他说。

“在蒙特卡洛模拟里，任何能被解析表达的部分，都不应该被抽样。

跳跃的发生时间服从泊松过程，跳跃幅度服从对数正态分布，这两个部分都可以用解析公式计算条件期望。

把它们作为控制变量，可以让LSM的回归只聚焦在扩散部分的非线性上。”

杰罗教授的手指在桌面上轻轻敲了两下。

“这个思路，你在哪里看到的？”

“我自己想的。”

这是一个谎言。

但这个谎言，没有人能戳穿，因为这个思路来自另一个世界里的罗伯特·杰罗教授本人。

杰罗教授看着林安，嘴角翘起。

“你最近几天有空吗？”